طرق حل أي معادلة من الدرجة الثانية

‏2021-08-17, 21:06 مساء 525
طرق حل أي معادلة من الدرجة الثانية

 ما هي المعادلة من الدرجة الثانية؟

 يمكن تعريف المعادلة من الدرجة الثانية بأنها معادلة جبرية تتمثل بمتغير وحيد، وتسمى بالمعادلة التربيعية Quadratic Equation) لوجود س2،

 وتُكتب الصيغة العامة للمعادلة التربيعية  بـ أس2+ ب س + جـ= صفر ،

 حيث إنّ: أ: معامل س2 ، حيث أ ≠ صفر، وهو ثابت عددي.

 ب: معامل س أو الحد الأوسط، وهو ثابت عددي. جـ : الحد الثابت أو المطلق، وهو ثابت عددي. س : متغير مجهول القيمة

. تكتب المعادلة التربيعية   على الصورة العامة أس2+ ب س + جـ= صفر

 وأن الثوابت العددية فيها (ب, جـ) من الممكن أن تساوي صفر, وأعلى قيمة للأس في المعادلة التربيعية هو 2 

ومعامل (أ) لا يمكن أن يساوي صفر

طرق حل أي معادلة من الدرجة الثانية

  • استخدام القانون العام يعتبر القانون العام القانون الشامل لحل أي معادلة تربيعية بشرط أن يكون مميزها موجبًا أو صفرًا، والمميز قيمة تحدد عدد جذور المعادلة أو عدد الحلول، وهنا لا بد من عرض القانون العام: 

 س=( -ب ± (ب2 - 4أجـ )√)/2أ

*ما المقصود بإشارة (±) في المعادلة السابقة؟ معنى ذلك أنه يوجد جذران أو حلّان للمعادلة كالآتي: 

س1=( -ب + (ب2 - 4أجـ )√)/2أ

 س2=( -ب - (ب2 - 4أجـ )√)/2أ لكن ليس في جميع الأحوال يمكن الجزم بوجود حلّان للمعادلة، فربما يوجد حل وحيد وربما لا يوجد حلول، فالحكم يستند هنا إلى ما يسمّى بالمميز أو Δ حيث إن قانون المميز يساوي

: Δ=2ب- 4أجـ ، 

 إذا كانت قيمة المميز موجبة أي Δ > صفر، فإن للمعادلة حلّان.

 إذا كانت قيمة المميز Δ = صفر ، فإن للمعادلة حل وحيد مشترك. إذا كانت قيمة المميز سالبة أي صفر > Δ, فإنه لا يوجد حلول للمعادلة بالأعداد الحقيقية، بل حلان بالأعداد المركبة Complex Numbers. إذًا القانون العام هو القانون الشامل لحل أي معادلة تربيعية مهما كان شكلها

  • . التحليل إلى العوامل تعد هذه الطريقة الأكثر شيوعًا واستعمالاً لسهولة استخدامها، لكن في البداية لا بد من كتابة المعادلة على الصورة القياسية وهي

  أس2+ ب س + جـ= صفر حيث:

 إذا كان أ=1، يتم فتح قوسين على شكل حاصل ضرب (س± ) * ( س ± )، وفرض عددين مجموعها يساوي قيمة ب من حيث القيمة والإشارة، وحاصل ضربهما يساوي قيمة جـ الحد الثابت من حيث القيمة والإشارة.

 أما إذا كان أ ≠ 1، يتم إيجاد حاصل ضرب أ*جـ يُرمز لهذه القيمة بـ ع, ثم يتم إيجاد عددين حاصل ضربهما يساوي ع وفي نفس الوقت مجموعهما يساوي قيمة ب, فعلى سبيل المشترك

  4س2+ 15 س + 9= صفر

 أ=4 , ب=15 , جـ=9 ؛ بعد تحديد قيم العوامل يتم إيجاد حاصل ضرب أ*جـ=4*9=36, ثم إيجاد عددان حاصل ضربهما يساوي 36 وفي نفس الوقت مجموعهما يساوي قيمة معامل س,

 وهما 12 و3، حيث 3*12=36 ومجموعهما 12+3=15

 وهو ما يمثل قيمة ب, ثم يتم استبدال قيمة ب بهاتين القيمتين فتصبح المعادلة كالآتي:

 4س2+ 12 س +3 س + 9=٠: بعد ذلك يُؤخذ العامل المشترك الأكبر لكل حدين بالتجميع كالآتي:

 4س (س+3) + 3(س+3) 

نتج الآن قوسان متشابهان، وبنفس الخطوة السابقة يتم إخراج عامل مشترك: 

(س+3) * (4س+3) ثم يتم مساواة كل قوس بالصفر ليكون الناتج: 

س+3=صفر، ومنه س=3، و 4س+3=صفر, ومنه س= 3/4-

. إذًا في التحليل إلى العوامل يتم الاعتماد على معامل س^2 باتباع الخطوات السابقة، وإذا كان بالإمكان القسمة على معامل س^2 لكل الحدود والتخلص منه ستُتبع فقط خطوات الحل المذكورة في " إذا كان أ=1 ".

  • إكمال المربع وتتمثل هذه الطريقة بكتابة المعادلة على صورة مربع كامل،

 فمثلًا في معادلة س2 - 10س +1= 20- يُنقل الحد الثابت (1) إلى الجهة الأخرى لتصبح المعادلة: س2 - 10س= 21 -،

 ثم تُتبع الخطوات الآتية

 إيجاد قيمة2(2/ب)، فحسب المعادلة السابقة

 2(2/ 10- ) = 25 إضافة العدد 25 إلى الطرفين

 س2 - 10س+ 25 =21- + 

25 ليصبح في الطرف الأيسر مربع كامل، وتصبح المعادلة على شكل

 س2 - 10س+ 25 =4. ثم يتم تحليل الطرف الأيمن، عن طريق التحليل إلى العوامل، ليتم الحصول أيضًا على مربع كامل: (س -5) * (س -5)=4. (س-5)2 =4,

 يؤخذ الجذر التربيعي للطرفين لينتُج حلّان وهما: س-5= +2 أو س-5= -2. 

وبحل المعادلتين تصبح قيم س= {3,7}

  • .استخدام الجذر التربيعي يتم استخدام هذه الطريقة عند عدم وجود الحد الأوسط (ب*س) مثل المعادلة الآتية

 س2 - 1= 24، حيث تُنقل جميع الحدود الثابتة إلى الجهة اليسرى فتصبح المعادلة

 س2 = 25، وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين تصبح قيم س: { +5 , -5 }. 

إذًا يٌستخدم الجذر التربيعي في حالة عدم وجود الحد الأوسط.

# أمثلة على حل معادلة من الدرجة الثانية تٌكتب المعادلة التربيعية على الصورة العامة أس2+ ب س + جـ= صفر,

 وتسمى بالمعادلة التربيعية لأن أعلى قيمة للأسس فيها يساوي 2، ويمكن للثوابت العددية فيها (ب, جـ) أن تساوي صفرًا, ولكن لا يمكن لقيمة (أ) أن تساوي صفر، وفيما يلي أمثلة على المعادلة من الدرجة الثانية وطرق حلها المتنوعة

شارك المقالة