امثلة على طرق حل معادلة من الدرجة الثانية

 امثلة على طرق حل معادلة من الدرجة الثانية 

1. أمثلة على استخدام القانون العام 

        المثال الأول س2 + 4س - 21 = ٠

 تحديد معاملات الحدود 

أ=1 , ب=4 , جـ= -21 . 

وبالتعويض في القانون العام، 

س= (-4 ± (16- 4 *1*(-21))√)/(2*1).

 ينتج 

(-4 ± (100 )√)/2 

ومنه (-4 ± 10)/2 = -2± 5

. إذًا قيم س التي تكون حلًّا للمعادلة: 

{3, -7} . 

1. #المثال الثاني س2 + 2س +1= 0 تحديد المعاملات أ=1, ب=2 ,جـ =1. المميز= (2)^2 - 4*1*1√ = 4- 4√= 0 إذًا هناك حل وحيد لأن قيمة المميز=0 . بالتطبيق على القانون العام، س= (-2 ± (0 )√)/2*1 = 1- . إذًا القيمة التي تكون حلًّا للمعادلة هي :

س= {1-}.

 #المثال الثالث س2 + 4س =5 

1. كتابة المعادلة على الصورة القياسية: س2 + 4س - 5= صفر. 

تحديد المعاملات أ=1، ب=4، جـ =-5. بالتطبيق على القانون العام،

 س= (-4 ± (16- 4*1*(-5))√)/(2*1).

 س= (-4 ± (16+20)√)/

2 ومنه س= (-4 ± (36)√)/2. س= (-4 + 6)/2 = 2/2 = 1

 أو س= (-4 - 6)/2 = -10/ 2= -5. 

إذًا قيم س التي تكون حلًّا للمعادلة: {-5 ,1} 

1. . أمثلة على التحليل إلى العوامل

 المثال الأول 

س2 - 3س - 10= صفر [٩] 

فتح قوسين وإيجاد عددين حاصل ضربهما =- 10 وهي قيمة جـ، ومجموعهما = -3 وهي قيمة ب, وهما العددين -5, 2.

 مساواة كل قوس بالصفر:

 (س- 5)*(س+2)=0

. ومنه قيم س التي تكون حلًا للمعادلة هي: {-2 ,5}. المثال الثاني س2 +5س + 6 =صفر [١٠] فتح قوسين وتحليل المعادلة إلى عواملها الأولية: (س+3)*(س+2)= 0.

 مساواة كل قوس بالصفر: (س+2)=0، (س+3) = 0. 

وبحل المعادلتين تكون قيم س التي تحقق المعادلة هي: {-3,-2}.

# المثال الثالث 2س2 +5س =12 [٩] كتابة المعادلة على الصورة العامة: 2س2 +5س -12= 0. فتح قوسين وتحليل المعادلة إلى عواملها الأولية: (2س-3)(س+4)= 0. 

مساواة كل قوس بالصفر: 

(2س-3)= 0 أو (س+4)= 0.

وبحل المعادلتين تكون قيم س التي تحقق المعادلة هي: {3/2, -4} 

1. أمثلة على إكمال المربع المثال الأول س2 + 4س +1= صفر [١١]

 نقل الثابت العددي إلى الطرف الأيسر : س2 + 4س = -1. إكمال المربع الكامل على الطرف الأيمن بإضافة ناتج العدد (2/ب)2= (4/2)2=(2)2=4.

 إضافة الناتج 4 للطرفين: س2 + 4س+4 = -1+

4 لتصبح: س2 + 4س+4 = 3.

 كتابة الطرف الأيمن على صورة مربع كامل: (س+2)2=3.

 عند أخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتُج معادلتين وهما:

 س+2= 3√ أو س+2= 3√-

 بحل المعادلتين الخطيتين، تكون قيم س التي تحقق المعادلة

 هي: {3√+2- , 3√-2-}

. المثال الثاني 5س2 - 4س - 2= صفر قسمة جميع الحدود على

 5 (معامل س2):

 س2 - 0.8 س - 0.4= صفر.

 نقل الثابت العددي إلى الطرف الأيسر: س2 - 0.8 س = 0.4.

 تطبيق قاعدة 

2(2/ب) = 2(0.8/2) 

            =0.42 

            = 0.16.

 إضافة الناتج 0.16 للطرفين لتصبح المعادلة:

 س2 - 0.8 س+0.16 = 0.4 + 0.16. 

كتابة الطرف الأيمن على صورة مربع

 2(س - 0.4) = 0.56.

 أخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتُج معادلتين وهما: س - 0.4= 0.56√ أو س-0.4= 0.56√-.

 بحل المعادلتين الخطيتين, تكون قيم س التي تحقق المعادلة هي: { -0.348, 1.148 }. 

المثال الثالث س2 + 8س + 2= 22 

نقل الثابت إلى الطرف الأيسر : 

س2 + 8 س =22-2

 لتصبح المعادلة: س2 + 8 س =20.

 تطبيق قاعدة 2(2/ب) = 2(8/2) 

                          =42 = 16.

 إضافة الناتج 16 للطرفين:

 س2 + 8 س+16 = 20 + 16.

 كتابة الطرف الأيمن على صورة مربع

: 2(س + 4) =36. 

أخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتُج معادلتين وهما: س+4= - 6 ومنه س=-١٠،

أو س+4= 6 ومنه س=2. 

تكون قيم س التي تحقق المعادلة

 هي: {-2,10}.

1. أمثلة على استخدام الجذر التربيعي المثال الأول س2 - 4= 0 [١٣] نقل الثابت العددي إلى الطرف الأيسر:

 س2 =4. 

أخذ الجذر التربيعي للطرفين فتكون قيم س التي تحقق المعادلة هي : 

س= 2 أو س= -2.

 المثال الثاني 2س2+ 3= 131 

 نقل الثابت 3 إلى الطرف الأيسر : 2س2 = 131-3 , فتصبح المعادلة 2س2 = 128 القسمة على معامل س2 للطرفين :

س2 = 64 أخذ الجذر التربيعي للطرفين فتكون قيم س التي تحقق المعادلة هي :

س= -8 أو س= 8. 

المثال الثالث (س - 5)2 - 100= ٠ 

نقل الثابت العددي إلى الطرف الأيسر: (س - 5)2 =100. أخذ الجذر التربيعي للطرفين:

 (س-5)2√=100√ فتصبح المعادلة (س -5) =10 أو (س -5) = -10. 

بحل المعادلتين الخطيتين, تكون قيم س التي تحقق المعادلة هي: {15, -5{